高等幾何

前言

　　數學專業有三門傳統的基礎課程——“三高”，即高等微積分，高等代數和高等幾何，因此，高等幾何自然地是高等師范院校數學專業的三門基礎課程之一，但是隨著時代的推移，前兩門課程的面貌有了很大的變化，高等微積分發展成今天的數學分析，無論從內容的深度上和思想方法上與傳統的高等微積分有了很大的變化；高等代數也是一樣，有關群、環、域的概念和線性代數的內容都是傳統的高等代數課程內容中所沒有的，但是遺憾的是高等幾何的內容多少年來沒有突破性的改變，似乎有些與歷史的進步脫節.我一直指望有一本內容新穎的高等幾何教材，使它到了21世紀還能夠在奠定數學專業基礎上充分發揮作用，我閱讀了周建偉教授的《高等幾何》教材，盡管傳統的內容還是教材的主要部分，但是有了新意，教材的最后部分講述了二維雙曲幾何和橢圓幾何的基本內容，使學生學習了這些內容以后，能夠突破傳統的歐幾里得幾何的框架，去想象和思索新的幾何領域，我希望這本《高等幾何》教材能受到廣大高等師范院校數學專業的師生的歡迎。

內容概要

　　《高等幾何》以變換群的觀點為指導思想，以一些重要定理為主線，介紹了平面射影幾何的基本知識，努力展示射影、仿射、歐氏、雙曲、橢圓等多種幾何的豐富內容和內在聯系。內容包括射影平面、射影映射、二次曲線的射影理論、仿射幾何與歐氏幾何、平面雙曲幾何、平面橢圓幾何等?！陡叩葞缀巍房晒└叩葞煼对盒祵W系作為教材，也可用作自學。

書籍目錄

第一章 射影平面§1.1 拓廣歐氏平面1.1.1 qp心射影1.1.2 拓廣歐氏平面1.1.3 齊次坐標習題1.1 §1.2 射影平面1.2.1 射影平面的定義1.2.2 點與直線的結合關系1.2.3 射影平面的模型習題1.2 §1.3 射影坐標1.3.1 一維射影坐標1.3.2 一維射影坐標變換1.3.3 二維射影坐標習題1.3 §1.4 Desargues定理與對偶原理1.4.1 Desargues定理1.4.2 平面射影幾何的對偶原理習題1.4 §1.5 交比1.5.1 交比的定義與性質1.5.2 交比與一維射影坐標1.5.3 調和點列1.5.4 歐氏平面上交比的計算與運用習題1.5 第二章 射影映射§2.1 一維射影映射2.1.1 變換群2.1.2 透視2.1.3 一維射影映射2.1.4 一維射影映射的坐標表示習題2.1 §2.2 一維射影變換2.2.1 直線上的射影變換2.2.2 對合習題2.2 §2.3 直射2.3.1 直射映射2.3.2 直射變換2.3.3 調和同調變換2.3.4 直射與坐標變換的關系習題2.3 §2.4 歐氏平面上的仿射變換習題2.4 第三章 二次曲線的射影理論§3.1 二次曲線的射影定義3.1.1 二次曲線3.1.2 ——次曲線的切線3.1.3 次曲線的射影定義習題3.1 §3.2 配極3.2.1 極點與極線3.2.2 配極3.2.3 對射習題3.2 §3.3 Pascal定理與Brianchon定理習題3.3 §3.4 射影二次曲線的分類3.4.1 射影二次曲線的分類3.4.2 二次曲線束習題3.4 第四章 仿射幾何與歐氏幾何§4.1 仿射幾何4.1.1 仿射平面4.1.2 仿射變換習題4.1 §4.2 二次曲線的仿射理論4.2.1 仿射二次曲線4.2.2 仿射二次曲線的中心，直徑與漸近線習題4.2 §4.3 歐氏幾何4.3.1 虛點、虛直線4.3.2 歐氏變換與歐氏幾何4.3.3 歐氏二次曲線習題4.3 §4.4 二次曲線的對稱軸，焦點與準線4.4.1 二次曲線的對稱軸4.4.2 焦點與準線習題4.4 §4.5 歐氏，仿射，射影三種幾何的比較第五章 平面雙曲幾何§5.1 雙曲平面5.1.1 幾何原本與非歐幾何的發現5.1.2 雙曲平面的Klein模型5.1.3 雙曲度量習題5.1 §5.2 雙曲運動習題5.2 §5.3 雙曲三角學5.3.1 雙曲三角學5.3.2 直線與直線的相關位置5.3.3 羅氏函數習題5.3 §5.4 雙曲弧長與面積5.4.1 雙曲平面上的幾種曲線5.4.2 雙曲弧長5.4.3 雙曲面積習題5.4 §5.5 雙曲平面的其他模型5.5.1 Poincare模型5.5.2 雙曲上半平面第六章 平面橢圓幾何§6.1 球面幾何與球面三角6.1.1 球面的特征性質6.1.2 球面三角公式6.1.3 球面上距離的坐標表示習題6.1 §6.2 平面橢圓幾何6.2.1 橢圓度量與橢圓幾何6.2.2 橢圓二次曲線6.2.3 球面幾何與橢圓幾何的關系6.2.4 橢圓三角學習題6.2 §6.3 變換群與幾何學參考文獻名詞與人名索引

章節摘錄

　　普通歐氏平面加上平面上所有直線的無窮遠點以后稱為拓廣歐氏平面；也簡稱為拓廣平面。這樣，拓廣歐氏平面上的點由兩部分組成，一部分是原來平面上的點，稱為普通點，另一種是添加的無窮遠點。上面定義的拓廣直線也是拓廣平面上的直線。關于添加的無窮遠點以及它們與原有的普通點之間的關系，我們約定：　?。╥）拓廣平面上任意兩條拓廣直線如果作為普通直線平行，那么此兩拓廣直線上的無窮遠點相同，否則不同；　?。╥i）拓廣平面上所有的無窮遠點構成一條直線，它上面沒有普通點，這條直線稱為無窮遠直線?！　倪@些約定立即得出：普通平面上兩條直線平行的充要條件是它們的拓廣直線在拓廣平面上交于無窮遠點；一組平行直線相交于同一個無窮遠點。這樣，拓廣平面上的直線也有兩種：一種是添加無窮遠點以后的拓廣直線，此種直線上除一點外都是普通點；另一種是無窮遠直線，這樣的直線在拓廣平面上只有一條?！　∠旅娴亩ɡ?.1.1與1.1.2給出了拓廣歐氏平面上點與直線之間關系的重要性質。

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