數學分析

前言

　　擺在我們面前的這本書，是復旦大學數學系的幾位教師根據面向21世紀教學內容和課程體系改革的要求，結合自身的教學實踐，在近年內編寫出來的數學分析教材。說數學分析（或微積分）是數學系最重要的一門基礎課程，恐怕并非過譽。因為它不僅是大學數學系學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質上都可以看作是它的延伸、深化或應用，至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在。正因為如此，大家把關注的目光投射到這門課程及其教材的改革上，并從不同的角度付諸實踐，實在是很自然的。然而，自牛頓、萊布尼茨建立微積分，并經柯西、魏爾斯特拉斯等人為之奠定了相當嚴格的基礎以來，二三百年中經過眾多科學家的努力，微積分的基本理論框架及表達方式已歷經了一個千錘百煉的過程。大廈早已建成，格局已經布就，改革談何容易。盡管國內外已經出版的微積分教材為數頗多，但嚴格說來，真正能體現特色、符合改革精神的卻太少。這門課程的改革既舉足輕重，又頗具難度，是一個攻堅戰。對這門課程的改革設想和實踐，就像“每個讀者心中都有自己的林妹妹”那樣，也往往見仁見智，看來在相當長的一段時間內難以（也沒必要）完全取得共識。那么，不管特點如何各異，比較理想的微積分教材是否應該具有某些共性呢？我想利用這個機會，談一些粗淺的認識，作為一家之言，就正于方家與讀者。首先，任何一門學問，就其本質來說，關鍵的內容、核心的概念，往往就不過那么幾條；而發揮開來，就成了洋洋大觀的巨著。理解了這些核心和關鍵，并通過嚴格的訓練將其真正學到手，就掌握了這門課程的精髓，就能得心應手地加以應用和發揮，也就達到了學習這門課程的目的，并為培養創新人才打下了良好的基礎。微積分也不例外。要讓學生把主要的精力集中到那些最基本、最主要的內容上，真正學深學透，一生受用不盡。將簡單的東西故弄玄虛，講得復雜、煩瑣，使學生莫測高深的，絕不是一個水平高的好教師；相反，將復雜的內容，抓住實質講得明白易懂，使學生覺得自然親切、趣味盎然的，才是一個高水平的良師。

內容概要

本書是教育部“高等教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”、教育部“理科基礎人才培養基地創建優秀名牌課程數學分析”項目和高等教育出版社“高等教育百門精品課程教材建設計劃”精品項目的成果，是面向21世紀課程教材。本書以復旦大學數學系近20年中陸續出版的《數學分析》為基礎，為適應數學教學面向21世紀改革的需要而編寫的。作者結合了多年來教學實踐的經驗體會，從體系、內容、觀點、方法和處理上，對教材作了有益的改革?！　”緯稚?、下兩冊出版?！　∩蟽詢热莅ǎ杭吓c映射、數列極限、函數極限與連續函數、微分、微分中值定理及其應用、不定積分、定積分、反常積分八章?！　∠聝詢热莅ǎ簲淀椉墧?、函數項級數、Euclid空間上的拓撲、多元函數的微分學、重積分、曲線積分與曲面積分、含參變量積分、Fourier級數八章?！　”緯梢宰鳛楦叩葘W校數學專業數學分析課程的教科書，也可供其他有關專業選用。

書籍目錄

第一章  實數集與函數　1  實數　　一  實數及其性質  　　二  絕對值與不等式  　2  數集·確界原理　　一  區間與鄰域  　　二  有界集·確界原理  　3  函數概念　　一  函數的定義  　　二  函數的表示法  　　三  函數的四則運算  　　四  復合函數  　　五  反函數  　　六  初等函數  　4  具有某些特性的函數　　一  有界函數  　　二  單調函數  　　三  奇函數與偶函數  　　四  周期函數  第二章  數列極限　1  數列極限概念　　一  數列極限定義  　　二  無窮小數列  　2  收斂數列的性質　3  數列極限存在的條件第三章  函數極限　1  函數極限概念　　一 x趨于無窮大時函數的極限  　　二 x趨于某一定數時函數的極限  　2  函數極限的性質　3  函數極限存在的條件　4  兩個重要極限　5  無窮小量與無窮大量·階的比較　　一  無窮小量  　　二  無窮小量階的比較  　　三  無窮大量  第四章　函數的連續性　1  連續性概念　　一  函數在一點的連續性  　　二  間斷點及其分類  　　三  區間上的連續函數  　2  連續函數的性質　　一  連續函數的局部性質  　　二  閉區間上連續函數的基本性質  　　三  反函數的連續性  　　四  一致連續性  　3  初等函數的連續性　　一  具有實指數的乘冪  　　二  指數函數的連續性  　　三  初等函數的連續性  第五章  導數與微分　1  導數概念　　一  導數的定義  　　二  導數的幾何意義  　　三導函數  　2  求導法則　　一  導數的四則運算  　　二  反函數的導數  　　三  復合函數的導數  　　四  基本求導法則與公式  　3  微分　　一  微分概念  　　二　微分的運算法則  　　三  近似計算與誤差估計  　4  高階導數與高階微分　　一  高階導數  　　二  高階微分  　5  參量方程所確定的函數的導數第六章  微分學基本定理與不定式極限　1  中值定理　　一  費馬定理  　　二  中值定理  　2  不定式極限　3  泰勒公式　　一  泰勒定理  　　二  帶皮亞諾型余項的泰勒公式  　　三  某些應用  第七章  運用導數研究函數性態　1  函數的單調性與極值　　一  函數的單調性  　　二  極值  　　三  最大值與最小值  　2  函數的凸性與拐點　　一  函數的凸性  　　二  拐點  　3  函數圖象討論　　一  漸近線　　二  函數作圖  　4  方程的近似解第八章  極限與連續性(續)　1  實數完備性的基本定理　　一  區間套定理與柯西收斂準則  　　二  聚點定理與有限覆蓋定理  　　三  有關實數完備性基本定理的等價性  　2  閉區間上連續函數性質的證明　3  上極限和下極限第九章  不定積分　1  不定積分概念與基本積分公式　　一  原函數與不定積分  　　二  基本積分表  　　三  不定積分的線性運算法則  　2  換元積分法與分部積分法　　一  換元積分法  　　二  分部積分法  　3  有理函數和可化為有理函數的積分　　一  有理函數的積分  　　二  三角函數有理式的積分  　　三  某些無理函數的積分  第十章  定  積  分　1  定積分概念　　一  問題提出  　　二  定積分的定義  　2  可積條件　　一  可積的必要條件  　　二  上和與下和  　　三  可積的充要條件  　　四  可積函數類  　3  定積分的性質　4  微積分學基本定理·定積分計算　　一  微積分學基本定理  　　二  換元積分法與分部積分法  　　三  泰勒公式的積分型余項  　5  對數函數與指數函數　　一  自然對數函數  　　二  數e  　　三  指數函數  　　四  以a為底的對數函數  　6  非正常積分　　一  問題提出  　　二  無窮限非正常積分  　　三  無界函數非正常積分  第十一章  定積分的應用　1  平面圖形的面積　2  由截面面積求立體體積　3  曲線的弧長與曲率　　一  曲線的弧長  　　二  曲率  　4  旋轉曲面的面積　　一  微元法  　　二  旋轉曲面的面積  　6  定積分在物理上的某些應用　　一  壓力  　　二  功  　　三  靜力矩與重心  　　四  平均值  　6  定積分的近似計算　　一  梯形法  　　二  拋物線法  附錄I  微積分學簡史附錄Ⅱ  實數理論　一  建立實數的原則 　二  分析  　三  分劃全體所成的有序集　四  R中的加法  　五  R中的乘法  　六  R作為Q的擴充  　七  實數的無限小數表示附錄III  積分表　一  含有xn的形式  　二  含有a-b-b。的形式  　三  含有a2±x2，a>0的形式  　四  含有a+bx+cx2，b2≠4ac的形式  　五  含有√a+bx的形式  　六  含有√x2±a2,a>0的形式  　七  含有 的形式  　八  含有sin x或cos x的形式  　九  含有tgx，ctgx，secx，cscx的形式  　十  含有反三角函數的形式  　十一  含有ex的形式  　十二  含有lnx的形式  習題答案索引人名索引

章節摘錄

　　數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，是一個范圍廣闊、分支眾多、應用廣泛的科學體系，是其他各門科學（包括自然科學、社會科學、管理科學與技術科學等）的基礎和工具，在整個人類知識體系中占有特殊的地位。數學起源于計數、測量和貿易等活動。17世紀以來，隨著物理學、力學等學科的發展和工業技術的崛起，尤其是Newton和Leibniz發明微積分這劃時代的貢獻，數學迅速發展起來，到19世紀已成為天體力學、彈性力學、流體力學、熱學、電磁學和統計物理學中不可缺少的重要工具。20世紀以來，數學與自然科學和生產技術的聯系達到了新的高度。進入20世紀70年代后，隨著電子計算機的迅猛發展和普及，數學理論、方法和工具更是以前所未有的廣度、深度和速度進入了幾乎所有的其他學科。馬克思一百多年前的“一切科學，只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步”的著名論斷正在逐步成為現實?？梢灶A見，進入21世紀以后，隨著高新技術的加速發展，數學將在人類知識各個領域中愈加大顯身手，在科學舞臺上扮演更為令人矚目的角色。當今，隨著學科內部高度發展交融以及與其他領域（尤其是計算機技術）間空前廣泛的滲透，數學已成為一座巍峨的科學大廈。但是，萬丈高樓平地起，就研究數量關系和空間形式而言，必須從變量間最本質的聯系，即函數開始起步。數學分析正是講述函數理論的最基本的課程，是幾乎所有后繼數學課程的奠基石，因此，它理所當然地被列為數學科學最重要的基礎課之一，在培養具有良好的數學素養的人才方面，它所起的作用是任何別的課程無法相比的。歷史上，微積分的形成和發展直接得益于物理學、天文學、幾何學等領域的研究，因而當微積分一旦形成為一門學科，它在這些應用領域中就極具應用活力。因此，學習數學分析不僅要循序漸進地深刻領會已抽象出來的普遍結論，更要切實掌握用數學工具分析問題、轉化問題、解決問題的思想和方法——這是開設本課程的宗旨。

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